01比特频率

  1. 对于 LC 谐振电路， \(H=4E_Cn^2+\frac{1}{2}E_L\phi^2\) ，是 \(\phi\) 的抛物线函数。注意！该式是算符形式。 其中 \(E_C=e^2/(2C)\) 是将 Cooper 对中的每个电子加到 island 上的电荷能量， \(n=Q/2e\) 是 island 上附加的 Cooper 对数量。 （在上述定义中前后的单电子 / Cooper 的不一致，是该项前系数 “4” 的成因。）

    \(E_L=(\Phi _0/2\pi)^2/L\) 是电感能量, \(\Phi_0=h/(2e)\) 是超导磁通量子， 磁通减少量 \(\phi\equiv2\pi\Phi/\Phi _0\) 是穿过电感的规范不变相 “gauge-invariant phase”

    谐振器频率 \(\omega_r=\sqrt{8E_LE_C}/\hbar=1/\sqrt{LC}\) ，能级分布 \(E_{k+1}-E_k=\hbar\omega_r\) 。

    elc-eq

  2. 对于量子比特，替换电感能为约瑟夫森结 \(E_j\) 的能量， \(H=4E_Cn^2+E_j\cos{\phi}\) 。

    \(E_j=I_C\Phi _0/2\pi\) ，表示单电子穿过结的隧穿能量。 \(I_C\) 是结的临界电流。

    \(I_CR_n=\pi\Delta(0)/2e\) ， \(R_n\) 是结的常温电阻， \(\Delta(0)\) 是绝对零度下结的超导材料能隙。

    比特频率 \(\omega_q=(\sqrt{8E_jE_C}-E_C)/\hbar\) ，非谐性 \(\alpha=\omega _{21}-\omega _{10}=-E_C\) 。

    由于 \(E_j\gg E_c\) ，因此

e.g. 求结的常温电阻

Al 的超导能隙为 180ueV ，取比特频率 5.3GHz ，非谐 -230MHz。计算结的临界电流、常温电阻，以及比特电容:

[33.416602010491864, 8.46116366751796, 83.98971434530236]